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 Submissions: 2020

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问题描述

\ \ \ \    Rivendell非常神,喜欢研究奇怪的问题.\ \ \ \    今天他发现了一个有趣的问题.找到一条线段x+y=qx+y=q,令它和坐标轴在第一象限围成了一个三角形,然后画线连接了坐标原点和线段上坐标为整数的格点.\ \ \ \    请你找一找有多少点在三角形的内部且不是线段上的点,并将这个个数对PP取模后告诉他.

输入描述

\ \ \ \    第一行一个数T,为测试数据组数.\ \ \ \    接下来每一行两个数qq,PP,意义如题目中所示.\ \ \ \ q    q是质数且q\le 10^{18},1\le P\le 10^{18},1\le T \le 10q≤1018,1≤P≤1018,1≤T≤10.

输出描述

\ \ \ \    对每组数据,输出点的个数模PP后的值.

输入样例

12 107

输出样例

0

官方解：

考虑一条以$(0,0)$为起点,$(x,y)$为终点的线段上格点的个数（不包含端点时）,一定是$gcd(x,y)-1$,这个很显然吧.

然后整个网格图范围内的格点数目是\frac {q*(q-1)} 2​2​​q∗(q−1)​​.

所以答案就是\frac {q*(q-1)} 2 -​2​​q∗(q−1)​​− 所有线段上的格点的个数.

因为$gcd(a,b)=gcd(a,b-a)(b>a)$,所以$gcd(x,y)=gcd(x,p-x)=gcd(x,p)$,p是质数,所以$gcd(x,y)=1$,所以线段上都没有格点,所以答案就是\frac {q*(q-1)} 2​2​​q∗(q−1)​​.

因为数据比较大，所以用的java.当然也可以考虑按位乘

import java.io.BufferedInputStream;import java.math.BigInteger;import java.util.Scanner;public class Main {    public static void main(String[] args) {        // TODO 自动生成的方法存根        Scanner cin = new Scanner (new BufferedInputStream(System.in));        int T;        BigInteger c; BigInteger d;         T = cin.nextInt();        while(T > 0){        c = cin.nextBigInteger();         d = cin.nextBigInteger();         BigInteger a = c.subtract(BigInteger.valueOf(2));        if(a.equals(BigInteger.valueOf(0)))        {            System.out.println(0);        }        else{        c = a.add(BigInteger.valueOf(1));       //system.out.println(c);        a = c.multiply(a);        //System.out.println(a);        a = a.divide(BigInteger.valueOf(2));        a = a.remainder(d);        System.out.println(a);        }        T--;    }    }}